-

Dilatasi Fungsi
(Perubahan Skala: Peregangan & Pemampatan)

SMA Islam Terpadu Al Ishlah

Oleh: Rahmat Djafar, S.Pd., Gr

🎯 Tujuan Pembelajaran:

Menjelaskan konsep dilatasi vertikal dan horizontal pada grafik fungsi.
Menentukan persamaan fungsi hasil dilatasi dengan faktor skala \( k \).
Menggambar grafik fungsi hasil dilatasi.
Menganalisis pengaruh nilai \( k \) (\( k > 1 \), \( 0 < k < 1 \)) terhadap bentuk grafik.

🔍 TELAAH

Sadari Masalahnya

Perhatikan gambar mikroskop dan grafik fungsi kuadrat di samping. Apa yang kalian amati terkait "ukuran"?

🤔 Pertanyaan Pemantik:

Apa perbedaan kelengkungan ketiga grafik di samping?
Mengapa bentuknya berbeda padahal semuanya adalah fungsi kuadrat (parabola)?
Faktor apa yang menyebabkan grafik terlihat lebih "kurus" atau lebih "gemuk"?

Bandingkan \( f(x)=x^2 \), \( g(x)=2x^2 \), dan \( h(x)=0.5x^2 \)

🔬 EKSPLORASI

Cari Tahu, Buktikan Sendiri

Pilih fungsi dasar, geser slider skala vertikal & horizontal. Amati kapan grafik memanjang dan memampat!

Fungsi Dasar \( f(x) \):

Skala Vertikal (\( k_v \)) 1.0

Persamaan: \( y = k_v \cdot f(x) \)

Skala Horizontal (\( k_h \)) 1.0

Persamaan: \( y = f(k_h \cdot x) \)

Asli: Puncak (0, 0)

Vertikal: Puncak (0, 0)

Horizontal: Puncak (0, 0)

📝 RUMUSKAN

Simpulkan Konsepnya

Berdasarkan grafik, perhatikan efek perubahan nilai konstanta \( k \) pada fungsi:

Jenis Dilatasi	Rumus Baru	Efek Jika \( k > 1 \)	Efek Jika \( 0 < k < 1 \)
Vertikal (Thd Sumbu X)	\( y = k \cdot f(x) \)	Grafik memanjang / meregang secara vertikal (menjauhi sumbu X)	Grafik memampat / menyusut secara vertikal (mendekati sumbu X)
Horizontal (Thd Sumbu Y)	\( y = f(k \cdot x) \)	Grafik menyempit / memampat secara horizontal (mendekati sumbu Y)	Grafik melebar / meregang secara horizontal (menjauhi sumbu Y)

💡

Contoh Konkret:

Jika \( f(x) = x^2 - 1 \), maka:

Dilatasi Vertikal (\( k=2 \)) \( \rightarrow g(x) = 2(x^2 - 1) = \mathbf{2x^2 - 2} \)
Dilatasi Horizontal (\( k=3 \)) \( \rightarrow h(x) = (3x)^2 - 1 = \mathbf{9x^2 - 1} \)

💼 APLIKASI

Uji Kemampuanmu

🕌 Kasus 1: Desain Arsitektur

Seorang arsitek ingin memperbesar desain kubah masjid yang dimodelkan dengan fungsi \( f(x) = -x^2 + 4 \) untuk rentang \( x \in [-2, 2] \). Ia melakukan pembesaran dengan faktor skala 2 secara vertikal agar kubah tampak lebih menjulang. Tentukan persamaan fungsi barunya!

📈 Kasus 2: Analisis Aljabar Cepat

Diberikan fungsi linear \( f(x) = 3x + 2 \). Tentukan persamaan bayangan fungsi ini jika mengalami dilatasi horizontal dengan faktor skala \( k = \frac{1}{2} \)!

🎮 GAMIFIKASI

Tantangan Rebutan: Master Dilatasi

🏆

Persiapan Cerdas Cermat

Siapkan kelompokmu! Siapa cepat mengangkat tangan dan menjawab benar, dia yang dapat poin.

Jumlah Kelompok:

🗣️ PRESENTASI

Ayo Bagikan Temuanmu

🎤

Bahan Diskusi Kelas (LKPD)

Bandingkan hasil dilatasi vertikal fungsi \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) dengan faktor skala \( k=2 \) dan \( k=\frac{1}{2} \).

Fokus Analisis 1: Titik Potong X

Mengapa pada dilatasi vertikal, letak titik potong terhadap sumbu X TIDAK BERUBAH (tetap di akar-akarnya)?

Fokus Analisis 2: Titik Potong Y

Mengapa letak titik potong terhadap sumbu Y justru berubah mengikuti faktor skala \( k \)?

Catatan Kesimpulan Guru

(Ruang ini digunakan guru untuk menegaskan bahwa pada dilatasi vertikal y=k·f(x), saat y=0 (akar), nilai x tidak terpengaruh oleh k. Sebaliknya, saat x=0, nilai y langsung dikalikan k).

🌍 DUNIAWI

Apa Manfaatnya Buatmu?

Konsep perubahan skala (dilatasi) sangat krusial dalam berbagai profesi dan kehidupan sehari-hari.

Pemetaan (Geospasial)

Memperbesar/memperkecil (zoom in/out) peta di Google Maps menggunakan prinsip dilatasi agar jarak aslinya tetap proporsional dengan yang digambar.

Desain Grafis & Animasi

Merubah ukuran vektor gambar/logo. Jika dilatasi vertikal dan horizontal tidak sama ukurannya (k_v != k_h), gambar akan tampak "peyang" (distorsi).

Arsitektur & Konstruksi

Membuat maket (miniatur) gedung dari cetak biru asli. Semua ukuran panjang, lebar, tinggi diperkecil dengan faktor skala konstan yang seragam.

"Refleksi: Bagaimana pemahaman tentang perubahan skala (dilatasi) dapat membantumu saat merancang layout kamarmu atau merencanakan sebuah acara (menyesuaikan ukuran vs kapasitas ruang)?"

🕌 UKHROWI

Ilmu Ini untuk Allah

مَّا تَرَىٰ فِى خَلْقِ ٱلرَّحْمَـٰنِ مِن تَفَـٰوُتٍ ۖ فَٱرْجِعِ ٱلْبَصَرَ هَلْ تَرَىٰ مِن فُطُورٍ

QS. Al-Mulk (67): 3

"...Kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang?"

Saat kita melakukan dilatasi (perbesaran/pengecilan), kita mengalikan dengan satu konstanta yang proporsional. Hasilnya, ukuran berubah namun bentuk dan karakteristik dasarnya tetap terjaga.

Sama halnya dengan ciptaan Allah, mulai dari atom mikroskopis hingga galaksi raksasa, semuanya diciptakan dengan proporsi (skala) dan hukum yang tepat tanpa ada cacat dan ketidakseimbangan.

Refleksi Jurnal Diri 📝

"Tuliskan satu hal dalam hidupmu (waktu luang, emosi, konsumsi) yang ukurannya/proporsinya saat ini berlebihan dan harus segera kamu 'perkecil skalanya' agar kembali seimbang!"

📌 RINGKASAN

Kesimpulan & Penutup

🔍 Kotak Ingatan Dilatasi

Dilatasi Vertikal Mengubah tinggi y
\( y = k \cdot f(x) \)
Dilatasi Horizontal Mempengaruhi lebar x
\( y = f(k \cdot x) \)
*Catatan: Pada dilatasi horizontal, faktor \( k > 1 \) justru membuat grafik menyempit (memampat), kebalikan dari intuisi kita.

🔄

Pertemuan Berikutnya:

Kita telah menggeser, mencerminkan, dan menskalakan grafik. Selanjutnya kita akan belajar memutarnya! Bersiap untuk materi Rotasi Fungsi.

"Jaga proporsimu, temukan keseimbanganmu."

Alhamdulillahirabbil'alamin.

Dilatasi Fungsi (Perubahan Skala: Peregangan & Pemampatan)